Brevet har bekräftats av Støre och har fått spridning efter att PBS-journalisten Nick Schifrin publicerat innehållet på X.
I brevet skriver Trump att han ändrar sitt fokus efter Nobelbeskedet.
"Käre Jonas: Med tanke på att ditt land beslutade att inte ge mig Nobels fredspris för att jag stoppat åtta krig PLUS, känner jag inte längre någon skyldighet att tänka enbart på fred, även om det alltid kommer att vara det viktigaste, utan kan nu tänka på vad som är bra och rätt för Amerikas förenta stater."
Trump tar även upp Grönland i brevet och ifrågasätter Danmarks rätt till ön.
"Det är bara det att en båt landade där för hundratals år sedan, men vi hade också båtar som landade där", skriver presidenten.
Vidare hävdar Trump att han gjort mer för Nato än någon annan sedan alliansens grundande och att det nu är dags för Nato att göra något för USA. Han upprepar också att USA behöver Grönland av säkerhetspolitiska skäl.
Jonas Gahr Støre säger till NRK att brevet var ett svar på ett tidigare meddelande från nordiska ledare.
– I vårt meddelande till Trump framförde vi vår ståndpunkt mot hans höjda tullar mot Norge, Finland och andra utvalda länder. Vi påpekade behovet av att trappa ner ordväxlingen och begärde ett telefonsamtal mellan Trump, Stubb och mig under dagen, säger Støre.
Statsministern uppger samtidigt att Norge stödjer Danmark i Grönlandsfrågan och det inte är Norges regering utan en "oberoende" kommitté som delar ut Nobels fredspris.
