Borgström hade en lång och bitvis kontroversiell karriär bakom sig i gränslandet mellan juridik och socialdemokratisk politik. Han tog juristexamen 1974 och var därefter bland annat Thomas Quicks försvarsadvokat när Quick under 1990-talet dömdes för åtta mord som han inte var skyldig till.
Bland hans uppdrag märks ledamotskap i mediebranschens intresseorganisation Pressens Opinionsnämnd och i Advokatsamfundets disciplinnämnd. Den senare är en nämnd som Borgström så småningom själv kom att ställas inför, när han 2013 anklagades för ohederlighet mot sin klient Thomas Quick. Borgström friades men tre ledamöter, däribland ordföranden Anne Ramberg, ville ge honom en varning.
Claes Borgströms karriär inom socialdemokratin tog rejäl fart genom med den så kallade Tobleroneaffären, då han var försvarsadvokat åt Sveriges tidigare arbetsmarknadsminister Mona Sahlin (S), som under perioden 1990–1991 vid flera tillfällen hade använt statens kontokort för privata köp.
Efter uppdraget, som ledde till att inget åtal väcktes mot Sahlin, utsåg Göran Persson Borgström till regeringens jämställdhetsombudsman. Ett uppdrag som han lämnade 2007 när JÄMO slogs ihop med ett antal andra myndigheter och bildade det nuvarande DO.
Borgström väckte ofta uppmärksamhet sina radikala feministiska förslag under tiden som JÄMO, när han bland annat gav stöd åt Gudrun Schymans förslag om så kallad mansskatt. Han uppmärksammades i mars 2006 då han krävde att Sverige borde bojkotta fotbolls-VM i Tyskland 2006 "i protest mot den ökning av och handel med kvinnor som evenemanget väntas medföra".
Den 1 september 2010 övertalade Claes Borgström överåklagaren Marianne Ny att återuppta en våldtäktsutredning mot Wikileaks-grundaren Julian Assange, som överåklagare Eva Finne hade lagt ned den 25 augusti samma år. Borgström var därefter målsägarbiträde åt kvinnorna som anmält Assange. I mars 2013 ansökte en av kvinnorna om att byta ombud.
Claes Borgström blev 75 år.
